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TEMARIO DE LA ESPECIALIDAD DE MATEMÁTICAS

1. Números naturales. Sistema de numeración.
2. Fundamentos y aplicaciones de la teoría de grafos. Diagra-mas de árbol.
3. Técnicas de recuento. Combi-natoria.
4. Números enteros. Divisibili-dad. Nros primos. Con-gruencia.
5. Número racionales.
6. Números reales. Topología de la recta real.
7. Aproximación de números. Errores. Notación cientí-fica.
8. Sucesiones. Términos general y forma recurrente. Progre-sio-nes aritméticas y geométricas. Aplicacio-nes.
9. Números complejos. Aplicacio-nes geométricas.
10. Sucesivas ampliaciones del concepto de número. Evolu-ción histórica y problemas que resuelve cada una.
11. Conceptos básicos de la teoría de conjuntos. Estruc-turas algebraicas.
12. Espacios vectoriales. Varieda-des lineales. Aplicacio-nes entre espacios vectoriales. Teorema de isomor-fía.
13. Polinomios. Operaciones. Fórmula de Newton. Divisi-bili-dad de polinomios. Fracciones algebraicas.
14. Ecuaciones. Resolución de ecuaciones. Aproxima-ción numérica de raíces.
15. Ecuaciones diofánticas.
16. Discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales. T de Rouche. Regla de Cramel. Método de Gauss--Jordan.
17. Programación lineal. Aplicaciones.
18. Matrices. Álgebra de matrices. Aplicaciones al campo de las Ciencias Sociales y de la Naturaleza.
19. Determinantes. Propiedades. Aplicación al cálculo del rango de una matriz.
20. El lenguaje algebraico. Símbo-los y números. Impor-tancia de su desarrollo y problemas que resuelve. Evolución histórica del álgebra.
21. Funciones reales de variable real. Funciones elemen-tales; situaciones reales en las que aparecen. Compo-sición de funciones.
22. Funciones exponenciales y logarítmicas. Situaciones reales en las que aparecen.
23. Funciones circulares e hiperbó-licas y sus recíprocas. Situacio-nes reales en las que aparecen.
24. Funciones dadas en forma de tabla. Interpolación polinó-mi-ca. Interpolación y extrapola-ción de datos.
25. Límites de funciones. Conti-nuidad y discontinuida-des. Teorema de Bolzano. Ramas infinitas.
26. Derivada de una función en un punto. Función deriva-da. Derivadas sucesivas. Aplica-ciones.
27. Desarrollo de una función en serie de potencias. T. de Taylor. Aplicaciones al estudio local de funcio-nes.
28. Estudio global de funciones. Aplicaciones a la repre-senta-ción gráfica de funciones.
29. El problema del cálculo del área. Integral definida.
30. Primitiva de una función. Cálculo de algunas primi-tivas. Aplicaciones de la integral al cálculo de magni-tudes geomé-tricas.
31. Integración numérica. Métodos y aplicaciones.
32. Aplicación del estudio de funciones a la interpreta-ción y resolución de problemas de la Economía, las Cien-cias Socia-les y la Naturaleza.
33. Evolución histórica del cálculo diferencial.
34. Análisis y formalización de los conceptos geométri-cos intuiti-vos: incidencia, paralelismo, perpendicula-ridad, ángulo, etcétera.
35. Las magnitudes y su medida. Fundamentación de los concep-tos relacionados con ellas.
36. Proporciones notables. La razón áurea. Aplicacio-nes.
37. La relación de semejanza en el plano. Consecuen-cias. Teore-ma de Thales. Razones trigo-nométricas.
38. Trigonometría plana. Resolu-ción de triáng. Aplica-cio-nes.
39. Geometría del triángulo.
40. Geometría de la circunferencia. Angulos en la circun-ferencia. Potencia de un punto a una circunfe-rencia.
41. Movimientos en el plano. Composición de movi-mien-tos. Aplicación al estudio de las teselaciones del plano. Frisos y mosaicos.
42. Homotecia y semejanza en el plano.
43. Proyecciones en el plano. Mapas. Planisferios terres-tres: principales sistemas de representación.
44. Semejanza y movimientos en el espacio.
45. Poliedros. Teorema de Euler. Sólidos platónicos y arqui-medianos.
46. Distintas coordinadas para describir el plano o el espa-cio. Ecuaciones de curvas y superficies.
47. Generación de curvas como envolventes.
48. Espirales y hélices. Presencia en la Naturaleza, el Arte y en la Técnica.
49. Superficies de revolución. Cuádricas. Superficies regladas. Presencia en la Naturaleza, en el Arte y en la Técnica.
50. Introducción a las geometrías no euclídeas. Geome-tría esférica.
51. Sistemas de referencia en el plano y en el espacio. Ecua-ciones de la recta y del plano. Relaciones afines.
52. Producto escalar de vectores. Producto vectorial y produc-to mixto. Aplicaciones a la resolución de proble-mas físicos y geométricos.
53. Relaciones métricas: perpendicularidad, distancias, ángulos, áreas, volúmenes, etcétera.
54. Las cónicas como secciones planas de una superficie cónica. Estudio analítico. Presencia en la Naturaleza, el Arte y la Técnica.
55. La geometría fractal. Nociones básicas.
56. Evolución histórica de la geo-metría.
57. Usos de la estadística: estadís-tica descriptiva y inferen-cial. Métodos básicos y aplicacio-nes de cada una de ellas.
58. Población y muestra. Condi-ciones de representativi-dad de una muestra. Tipos de mues-treo. Tamaño de una muestra.
59. Técnicas de obtención y repre-sentación de datos. Tablas y gráficas estadísticas. Tenden-ciosidad y errores más comu-nes.
60. Parámetros estadísticos. Cálcu-lo, significado y propie-dades.
61. Desigualdad de Tchebyschev. Coeficiente de varia-ción. Va-riable normalizada. Aplicación al análisis, interpre-tación y comparación de datos estadísti-cos.
62. Series estadísticas bidimensio-nales. Regresión y corre-lación lineal. Coeficiente de correla-ción. Signifi-cado y aplicacio-nes.
63. Frecuencia y probabilidad. Leyes del azar. Espacio probabilístico.
64. Probabilidad compuesta. Probabilidad condicionada. Probabilidad total. Teorema de Bayes.
65. Distribuciones de probabilidad de variable discreta. Caracte-rísticas y tratamiento. Las distribuciones bino-mial y de Poisson. Aplicaciones.
66. Distribuciones de probabilidad de variable contínua. Caracte-rísticas y tratamiento. La distribución nor-mal. Aplicacio-nes.
67. Inferencia estadística. Test de hipótesis.
68. Aplicaciones de la estadística y el cálculo de proba-bilida-des al estudio y toma de decisiones en proble-mas de las Ciencias Sociales y de la Naturaleza. Evolución histórica.
69. La resolución de problemas en matemáticas. Estrate-gias. Importancia histórica.
70. Lógica proposicional. Ejem-plos y aplicaciones al razona-miento matemático.
71. La controversia sobre los fundamentos de la mate-mática. Las limitaciones internas de los sistemas formales.